Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+2（a∈R），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若對一切的實(shí)數(shù)x，有f′（x）≥|x|-

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4

成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a=0時(shí)，在曲線y=f（x）上是否存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），使得曲線在A，B兩點(diǎn)處的切線均與直線x=2交于同一點(diǎn)？若存在，求出交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a），由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）由f′（x）=3x²-2ax，得3x²-2ax≥|x|-

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，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的范圍．
（Ⅲ）設(shè)線與與直線x=2有公共點(diǎn)為P（2，t），a=0時(shí)，f（x）=x³+2，f′（x）=3x²，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知條件能求出在曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），使得曲線在A，B兩點(diǎn)處的切線均與直線x=2交于同一點(diǎn)，交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為10．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a），
①a＞0時(shí)，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

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a，
∴f（x）在（0，

2

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a）遞減，
②a=0時(shí)，f′（x）=3x²，無遞減區(qū)間，
③a＜0時(shí)，令f′（x）＜0，解得：

2

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a＜x＜0，
∴f（x）在（

2

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a，0）遞減．
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-2ax，
∴3x²-2ax≥|x|-

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，
①x≥0時(shí)，
3x²-（2a+1）x+

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≥0，
△=（2a+1）²-4×3×

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4

≤0，
解得：-2≤a≤1，
②x＜0時(shí)，
3x²-（2a-1）x+

3

4

≥0，
△=（2a-1）²-4×3×

3

4

≤0，
解得：-1≤a≤2，
綜上，a的范圍是：{a|-1≤a≤1}．
（Ⅲ）設(shè)線與與直線x=2有公共點(diǎn)為P（2，t），
a=0時(shí)，f（x）=x³+2，f′（x）=3x²，
在曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
使得曲線在A，B兩點(diǎn)處的切線均與直線x=2交于同一點(diǎn)，
f′(x1)=3x12，∴以A為切點(diǎn)的切線方程為y-x₁³-2=3x₁²（x-x₁），
∵點(diǎn)P（2，t）在切線上，∴t-x13-2=3x12（2-x₁），即2x13-6x 12+t-2=0，
同理2x23-6x22+t-2=0，
設(shè)g（x）=2x³-6x²+t-2，
則原問題等價(jià)于函數(shù)g（x）至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
∵g′（x）=6x²-12x=6（x-2）x，
當(dāng)x＜0或x＞2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減，
∴g（x）在x=0處取得極大值g（0）=t-2，在x=2處取得極小值g（2）=t-10，
若要滿足g（x）至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
則需滿足

t-2≥0 t-10≤0

，解得2≤t≤10．
∴在曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
使得曲線在A，B兩點(diǎn)處的切線均與直線x=2交于同一點(diǎn)，交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為10．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．