Question

8．點P是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右支上一點，其左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，直線PF₁與以原點O為圓心，a為半徑的圓相切于A點，線段PF₁的垂直平分線恰好過點F₂，則離心率的值為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 運用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理可得|PF₂|=|F₁F₂|=2c，設PF₁的中點為M，由中位線定理可得|MF₂|=2a，再由勾股定理和雙曲線的定義可得4b-2c=2a，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得a，c的關(guān)系，即可得到雙曲線的離心率．

解答 解：由線段PF₁的垂直平分線恰好過點F₂，
可得|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
由直線PF₁與以坐標原點O為圓心、a為半徑的圓相切于點A，
可得|OA|=a，
設PF₁的中點為M，由中位線定理可得|MF₂|=2a，
在直角三角形PMF₂中，可得|PM|=$\sqrt{4{c}^{2}-4{a}^{2}}$=2b，
即有|PF₁|=4b，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即4b-2c=2a，即2b=a+c，
即有4b²=（a+c）²，
即4（c²-a²）=（a+c）²，
可得a=$\frac{3}{5}$c，
所以e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查平面幾何中垂直平分線定理和中位線定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．