Question

3．已知動員P過定點(diǎn)$M（-\sqrt{3}，0）$且與圓N：${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=16$相切，記動圓圓心P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)D（3，0）且斜率不為零的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得直線AQ，BQ的斜率之積為非零常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2$\sqrt{3}$，則P的軌跡C是以M，N為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，則a=4，c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=1，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式，當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-4=0}\\{36-24t+4{t}^{2}≠0}\end{array}\right.$，解得t=±2，代入即可求得，定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)動圓P的半徑為r，由N：${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=16$及$M（-\sqrt{3}，0）$，知點(diǎn)M在圓N內(nèi)，則有$\left\{\begin{array}{l}{r=丨PM丨}\\{丨PN丨=4-r}\end{array}\right.$，
從而丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2$\sqrt{3}$，
∴P的軌跡C是以M，N為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，
設(shè)曲線C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），則2a=4，a=4，c=$\sqrt{3}$，
b²=a²-c²=1
故曲線C的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）依題意可設(shè)直線AB的方程為x=my+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+3}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4+m²）y²+6my+5=0，則△=36m²-4×5×（4+m²）＞0，即m²＞4，
解得：m＞2或m＜-2，
由y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{5}{4+{m}^{2}}$，x₁+x₂=m（y₁+y₂）+6=$\frac{24}{4+{m}^{2}}$，
x₁x₂=（my₁+3）（my₂+3）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+9=$\frac{36-4{m}^{2}}{4+{m}^{2}}$，
假設(shè)存在定點(diǎn)Q（t，0），使得直線AQ，BQ的斜率之積為非零常數(shù)，則
（x₁-t）（x₂-t）=x₁x₂-t（x₁+x₂）+t²=$\frac{36-4{m}^{2}}{4+{m}^{2}}$-t×$\frac{24}{4+{m}^{2}}$+t²=$\frac{（{t}^{2}-4）{m}^{2}+36-24t+4{t}^{2}}{4+{m}^{2}}$，
∴k_AQ•k_BQ=$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}-t}$•$\frac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}-t}$=$\frac{\frac{5}{4+{m}^{2}}}{\frac{（{t}^{2}-4）{m}^{2}+36-24t+4{t}^{2}}{4+{m}^{2}}}$=$\frac{5}{（{t}^{2}-4）^{2}{m}^{2}+36-24t+4{t}^{2}}$，
要使k_AQ•k_BQ為非零常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-4=0}\\{36-24t+4{t}^{2}≠0}\end{array}\right.$，解得t=±2，
當(dāng)t=2時，常數(shù)為$\frac{5}{36-48+16}$=$\frac{5}{4}$，
當(dāng)t=-2時，常數(shù)為$\frac{5}{36+48+16}$=$\frac{1}{20}$，
∴存在兩個定點(diǎn)Q₁（2，0）和Q₂（-2，0），使直線AQ，BQ的斜率之積為常數(shù)，
當(dāng)定點(diǎn)為Q₁（2，0）時，常數(shù)為$\frac{5}{4}$；當(dāng)定點(diǎn)為Q₂（-2，0）時，常數(shù)為$\frac{1}{20}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，橢圓的定義，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．