Question

1．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）求使f（x）≥3成立的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)f（x），根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）利用f（x）的解析式，解三角函數(shù)不等式即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x
=sin²x+cos²x+2sinxcosx+2cos²x
=1+sin2x+1+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π；
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是：[$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{5π}{8}$+kπ]，k∈Z；
（2）∵f（x）≥3，∴$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2≥3，
解得sin（2x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$+2kπ，k∈Z，
解得kπ≤x≤$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z；
所求的集合為：[kπ，$\frac{π}{4}$+kπ]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換與正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．