Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\frac{3-a}{{{a^x}+1}}+asinx$，那么下列命題正確的是（　�。�

• A． 若a=0，則y=f（x）與y=3是同一函數(shù)
• B． 若0＜a≤1，則$f（-\frac{π}{2}）＜f（2-{log_3}2）＜f[{（\frac{1}{3}）^{{{log}_3}\frac{2}{3}}}]＜f（{log_3}5）＜f（\frac{π}{2}）$
• C． 若a=2，則對任意使得f（m）=0的實數(shù)m，都有f（-m）=1
• D． 若a＞3，則f（cos2）＜f（cos3）

Answer 1

分析 A，若a=0，則y=f（x）的定義域為{x|x≠0}，y=3定義域為R，不是同一函數(shù)；
B，若0＜a≤1時，可得函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，即可判斷；
C，a=2時，f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}+1}+asinx$，f（x）+f（-x）=$\frac{1}{{2}^{x}+1}+asinx+\frac{1}{{2}^{-x}+1}+asin（-x）$=$\frac{1}{{2}^{x}+1}+\frac{1}{{z}^{-x}+1}=1$，即可判定；
D，當a＞3時，f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，且cos2＞cos3，即可判定．

解答 解：對于A，若a=0，則y=f（x）的定義域為{x|x≠0}，y=3定義域為R，不是同一函數(shù)，故錯；
對于B，若0＜a≤1時，可得函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，∵$（\frac{1}{3}）^{lo{{g}_{3}}^{\frac{2}{3}}}$=$\frac{3}{2}=lo{g}_{3}\sqrt{27}＞lo{g}_{3}5$，故錯；
對于C，a=2時，f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}+1}+asinx$，f（x）+f（-x）=$\frac{1}{{2}^{x}+1}+asinx+\frac{1}{{2}^{-x}+1}+asin（-x）$=$\frac{1}{{2}^{x}+1}+\frac{1}{{z}^{-x}+1}=1$，∴則對任意使得f（m）=0的實數(shù)m，都有f（-m）=1，正確；
對于D，當a＞3時，f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，且cos2＞cos3，則f（cos2）＞f（cos3），故錯．
故選：C

點評 本題考查了命題真假的判定，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．