Question

6．已知函數(shù)f（x）=1+cos2x-sin2x-a（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，函數(shù)f（x）的最小值是-2，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用余弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由條件利用余弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)的最值，再根據(jù)函數(shù)f（x）的最小值是-2求得a的值，可得函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=1+cos2x-sin2x-a=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+1-a，
∴f（x）的最小正周期 $\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ-π≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，解得kπ-$\frac{5π}{8}$≤x≤kπ-$\frac{π}{8}$，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{8}$，kπ-$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，-1≤cos（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故函數(shù)的最小值為-$\sqrt{2}$+1-a=-2，求得a=3-$\sqrt{2}$，f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$-2，
∴函數(shù)的最大值為$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{2}$-2=$\sqrt{2}$-1．

點評 本題主要考查余弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎題．