Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD．已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2

2

，SA=SB=

3

．
（1）證明：SA⊥BC；
（2）求直線SD與平面SAB所成角的大�。�
（3）求二面角D-SA-B的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件中所給的兩兩垂直的三條直線建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出

SA

，

CB

的坐標(biāo)，根據(jù)求出兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，得到兩個(gè)向量垂直．
（2）求線面角，寫(xiě)出線對(duì)應(yīng)的向量，求出一條直線與平面垂直，這是平面的一個(gè)法向量，根據(jù)兩個(gè)向量的夾角做出線與平面所成的角的正弦．
（3）要求兩個(gè)平面的二面角，需要做出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)上一問(wèn)知道

OG

為平面SAB的法向量，只要求出面SDB的一個(gè)法向量，利用兩個(gè)法向量的夾角的余弦值，得到兩個(gè)向量的夾角．

解答：解：（1）作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，由側(cè)面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．
因?yàn)镾A=SB，所以AO=BO．
又∠ABC=45°，△AOB為等腰直角三角形，AO⊥OB
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸正向，建立直角坐標(biāo)系O-xyz
A(

2

，0，0)，B(0，

2

，0)，C(0，-

2

，0)，S（0，0，1），

SA

=(

2

，0，-1)，

CB

=(0，2

2

，0)，

SA

•

CB

=0，
所以SA⊥BC
（2）取AB中點(diǎn)E，E(

2

2

，

2

2

，0)，
連接SE，取SE中點(diǎn)G，連接OG，G(

2

4

，

2

4

，

1

2

)．

.

OG

=(

2

4

，

2

4

，

1

2

)，

.

SE

=(

2

2

，

2

2

，1)，

.

AB

=(-

2

，

2

，0)．

.

SE

•

.

OG

=0，

.

AB

•

.

OG

=0，
OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線SE，AB垂直．
∴OG⊥平面SAB，

.

OG

與

.

DS

的夾角記為α，SD與平面SAB所成的角記為β，則α與β互余
D(

2

，2

2

，0)，

.

DS

=(-

2

，2

2

，1)．
cosα=

. OG • . DS

| . OG |•| . DS |

=

22

11

，
∴sinβ=

22

11

，
（3）由上知

OG

為平面SAB的法向量，

OG

=(

2

4

，

2

4

1

2

)
易得D（

2

，-2

2

，0）

DA

=(0，2

2

，0)，

SA

=(

2

，0，-1)
同理可求得平面SDA的一個(gè)法向量為

m

=(1，0，

2

)
∴cosθ=

m • OG

| m || OG |

=

3

2

由題知所求二面角為鈍二面角，故二面角D-SA-B的大小為150°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而寫(xiě)出向量的坐標(biāo)，然后進(jìn)行向量的有關(guān)運(yùn)算．