Question

如圖，四棱錐S-ABCD中．ABCD為矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，SD=

3

AD．E為CD上一點，且CE=3DE．
（1）求證：AE⊥平面SBD；
（2）M、N分別在線段CD、SB上的點，是否存在M、N，使MN⊥CD且MN⊥SB，若存在，確定M、N的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）畫出底面圖形，說明BD就是SB在底面ABCD上的射影，通過證明AE⊥BD，證明AE⊥平面SBD．
（2）假設(shè)MN存在，利用空間直角坐標(biāo)系，求出A，B，C，D，設(shè)出M，N的坐標(biāo)，利用MN⊥CD且MN⊥SB，轉(zhuǎn)化

NM • DC =0 NM • BS =0

，求出M，N坐標(biāo)，是否滿足題意，即可說明是否存在MN．

解答：解：（1）證明：因為四棱錐S-ABCD中．ABCD為矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，
所以SD⊥平面ABCD．
BD就是SB在底面ABCD上的射影．
因為AB=2AD，E為CD上一點，且CE=3DE．
如圖：
∵tan∠1=

DE

AD

=

1

2

，tan∠DBA=

AD

AB

=

1

2

，
∴∠BAC=∠DBA，同理∠BDA=∠DEA
∴∠1+∠BDA=90°．
所以AE⊥BD．
所以AE⊥平面SBD；
（2）假設(shè)存在MN滿足MN⊥CD且MN⊥SB．
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可知，D（0，0，0），
A（a，0，0），C（0，2a，0），B（a，2a，0），S（0，0，

3

a），
設(shè)

DM

=

DB

+t

BS

=（a，2a，0）+t（-a，-2a，

3

a）=（a-ta，2a-ta，

3

a），（t∈[0，1]）
即M（a-ta，2a-ta，

3

a），N（0，y，0），y∈[0，2a]

NM

=（a-ta，2a-ta-y，

3

a）．
使MN⊥CD且MN⊥SB，
則

NM • DC =0 NM • BS =0

，

(a-ta，2a-ta-y， 3 a)•(0，2a，0)=0 (a-ta，2a-ta-y，3a)•(-a，-2a， 3 a)=0

可得

2a(2a-ta-y)=0 -a(a-ta)-2a(2a-ta-y)+3 3 a2=0

，
t=-1-3

3

∉[0，1]．y=3a+3

3

a∉[0，2a]．
故不存在MN使MN⊥CD且MN⊥SB．

點評：本題是難題，（1）考查直線與平面的垂直，注意三垂線定理的應(yīng)用；（2）空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，注意M，N中的條件的發(fā)現(xiàn)，t∈[0，1]，y∈[0，2a]，否則容易出錯，本題的解答值得借鑒．