如圖，直角坐標系xOy中，Rt△ABC中∠C=90°，B、C在x軸上且關于原點O對稱，D在邊BC上，BD=3DC，△ABC的周長為12.若一雙曲線E以B、C為焦點，且經(jīng)過A、D兩點。

（1）求雙曲線的方程；

（2）若過點P（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線L與雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且，問x軸上是否存在定點G，使？若存在，求出所有這樣定點G的坐標；若不存在，請說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解：（1）設雙曲線E的方程為（a>0, b>0），則B(-c,0)，D(c,0)，C（c,0）

由BD=3DC，得c+a=3(c-a)，即c=2a

∴   解之得a=1, ∴c=2,b=

∴雙曲線E的方程為

(2)如圖,設在x軸上存在定點G(t,0),使

設直線l的方程為x-m=ky, M(x1,y1)、N(x2,y2)

由，得y1+λy2=0，即①

∵，，

∴

即ky1+m-t=λ(ky2+m-t) ②

把①代入②得   2ky1y2+(m-t)(y1+y2)=0③

把x-m=ky代入并整理得(3k)y2+6kmy+3(m)=0,

其中3k≠0且△＞0

即且3k2+m2＞1

，代入③得

化簡得kmt=t.當時，上式恒成立。

因此，在x軸上存在定點，使。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，直角坐標系xoy中，有Rt△ABC，∠C=90°，D在邊BC上，BD=3DC，雙曲線E以B、C為焦點，且經(jīng)過A、D兩點．
（1）求雙曲線E的漸近線方程；
（2）若△ABC的周長為12，求雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，直角坐標系xOy中，一直角三角形ABC，∠C=90°，B、C在x軸上且關于原點O對稱，D在邊BC上，BD=3DC，△ABC的周長為12．若一雙曲線E以B、C為焦點，且經(jīng)過A、D兩點．
（1）求雙曲線E的方程；
（2）若一過點P（m，0）（m為非零常數(shù)）的直線l與雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且
MP
=λ
PN
，問在x軸上是否存在定點G，使
BC
⊥(
GM
-λ
GN
)？若存在，求出所有這樣定點G的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•蕪湖二模）如圖，直角坐標系XOY中，點F在x軸正半軸上，△OFG的面積為S．且
OF
•
FG
=1，設|
OF
|=c(c≥2)，S=
3
4
c．
（1）以O為中心，F(xiàn)為焦點的橢圓E經(jīng)過點G，求點G的縱坐標．
（2）在（1）的條件下，當|
OG
|取最小值時，求橢圓E的標準方程．
（3）在（2）的條件下，設點A、B分別為橢圓E的左、右頂點，點C是橢圓的下頂點，點P在橢圓E上（與點A、B均不重合），點D在直線PA上，若直線PB的方程為，且
AP
•
CD
=0，試求CD直線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•藍山縣模擬）如圖，直角坐標系xOy中，一直角三角形ABC，∠=90°，B、C在x軸上且關于原點O對稱，D在邊BC上，BD=3DC，△ABC的周長為12．若一雙曲線E以B、C為焦點，且經(jīng)過A、D兩點．
（1）求雙曲線E的方程；
（ 2）若一過點O（m，0）（m為非零常數(shù)）的直線與雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且
MP
=λ
PN
，問在x軸上是否存在定點G，使
BC
⊥(
GM
-λ
GN
)？若存在，求出所有這樣定點G的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖平面直角坐標系xOy中，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，A1，A2分別是橢圓的左、右兩個頂點，圓A1的半徑為a，過點A2作圓A1的切線，切點為P，在x軸的上方交橢圓于點Q．則
PQ
QA2
=
 
．

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