Question

已知正△ABC的邊長為a，在平面上求一點P，使PA²+PB²+PC²最小，并求其最小值．

Answer 1

考點：兩點間距離公式的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,直線與圓

分析：本題可以先建立坐標系，利用兩點距離公式將PA²+PB²+PC²轉(zhuǎn)化為兩二次函數(shù)式的和，再分別求它們的最值，得到本題結論．

解答： 解：建立平面直角坐標系，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），P（x，y），
則有：PA²+PB²+PC²=（x-x₁）²+（y-y₁）²+（x-x₂）²+（y-y₂）²+（x-x₃）²+（y-y₃）²
=3x2-2(x1+x2+x3)x+

x

2 1

+

x

2 2

+

x

2 3

+3y2-2(y1+y2+y3)y+

y

2 1

+

y

2 2

+

y

2 3

，
記f（x）=3x2-2(x1+x2+x3)x+

x

2 1

+

x

2 2

+

x

2 3

，
當且僅當x=

x1+x2+x3

3

時，f（x）取最小值；
記g（y）=3y2-2(y1+y2+y3)y+

y

2 1

+

y

2 2

+

y

2 3

，
當且僅當y=

y1+y2+y3

3

時，g（y）取最小值．
∴當且僅當x=

x1+x2+x3

3

，y=

y1+y2+y3

3

時，PA²+PB²+PC²取最小值．
此時，P為正△ABC的重心．
∵正△ABC的邊長為a，
∴PA²+PB²+PC²=（

3

3

a）²+（

3

3

a）²+（

3

3

a）²=a²．
∴PA²+PB²+PC²≥a²．
此時，P為正△ABC的重心．

點評：本題考查了兩點間距離公式，還考查了解析法研究問題的思想和方法，有一定的思維難度，屬于中檔題．