【題目】已知點P和非零實數(shù),若兩條不同的直線 均過點P,且斜率之積為,則稱直線是一組“共軛線對”,如直 是一組“共軛線對”,其中O是坐標(biāo)原點.

(1)已知是一組“共軛線對”,求的夾角的最小值;

(2)已知點A(0,1)、點和點C(1,0)分別是三條直線PQ,QR,RP上的點(A,B,CP,Q,R均不重合),且直線PR,PQ是“ 共軛線對”,直線QP,QR是“共軛線對”,直線RP,RQ是“共軛線對”,求點P的坐標(biāo);

(3)已知點 ,直線是“共軛線對”,當(dāng)的斜率變化時,求原點O到直線的距離之積的取值范圍.

【答案】(1)最小值為;(2)P(3,3)或;(3).

【解析】

(1)設(shè)l1的斜率為k,則l2的斜率為,兩直線的夾角為α,利用夾角公式及基本不等式求最值,即可得到l1,l2的夾角的最小值;

(2)設(shè)直線PR,PQQR的斜率分別為k1,k2,k3,可得,求解可得k1,k2,k3的值,進(jìn)一步得到直線PR與直線PQ的方程,聯(lián)立得P的坐標(biāo);

(3)設(shè)l1,,其中k≠0,利用兩點間的距離公式可得原點O到直線l1,l2的距離,變形后利用基本不等式求解.

(1)設(shè)的斜率為k,則的斜率為,兩直線的夾角為a

,

等號成立的條件是,所以最小值為;

(2)設(shè)直線的斜率分別為

.

當(dāng)時,直線的方程為y=,直線的方程為y=,聯(lián)立得,P(3,3);

當(dāng)時,,直線的方程為y=,直線的方程為y=-,聯(lián)立得,;

故所求為P(3,3)或

(3)設(shè),,其中k

=

由于(等號成立的條件是),故,.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】設(shè)函數(shù),其中x>0,k為常數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù).

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2)若,求△的面積;

3)證明:△為直角三角形.

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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動力和煤、電耗如下表:

產(chǎn)

千瓦

A產(chǎn)

3

9

4

B產(chǎn)

10

4

5

已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤是7萬元,生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤是12萬元,現(xiàn)在條件有限,該企業(yè)僅有勞動力300個,煤360噸,并且供電局只能供電200千瓦,試問:該企業(yè)生產(chǎn)AB兩種產(chǎn)品各多少噸,才能獲得最大利潤?并求出最大利潤.

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(1)若函數(shù)存在與直線平行的切線,求實數(shù)的取值范圍;

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當(dāng)時,y的取值范圍是______;

如果對任意 (b <0),都有,那么b的最大值是______

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