【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相異實(shí)根，且，證明：.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）由題可得.分類(lèi)討論可得：

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

（2）由（1）可知，.構(gòu)造函數(shù)，則.令，由導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可知是減函數(shù)，則，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，故.

詳解：（1）由題得，.

當(dāng)時(shí)，由于，可得，

即.

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，由，得，

由，得，

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

（2）由（1）可設(shè)，方程的兩個(gè)相異實(shí)根，滿足，

且，，

即.

由題意，可知，

又由（1）可知，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故.

令，

則.

令，

則.

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，

∴.

∴當(dāng)時(shí)，，

即.

∵在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

∴，

故.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“剪刀、石頭、布”的游戲規(guī)則是：雙方齊喊口令，然后同時(shí)出拳，握緊的拳頭代表“石頭”，“食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸開(kāi)代表“布”�！� 石頭”勝“剪刀”， “剪刀”勝“布”， “布”勝“石頭”，若所出拳相同則為和局。現(xiàn)甲乙兩人通過(guò)“剪刀、石頭、布”進(jìn)行比賽。

（1）設(shè)甲乙兩人每局都隨機(jī)出“剪刀”、“石頭”、“布”中的某一個(gè)，求甲勝乙的概率；

（2）最近中國(guó)科學(xué)家在網(wǎng)上發(fā)布了“剪刀、石頭、布”的致勝策略，引起了甲的關(guān)注，據(jù)甲認(rèn)真觀察，乙有以下出拳習(xí)慣：①第一局不出“剪刀”； ②連續(xù)兩局的出拳一定不一樣，即如本局出“剪刀”，則下局出“石頭”、“布”中的一個(gè)。假設(shè)甲的分析是正確的，甲據(jù)此分析出拳，保證每局都不輸給乙，在最多5局的比賽中，誰(shuí)勝的局?jǐn)?shù)多，誰(shuí)獲勝。游戲結(jié)束的條件是：一方勝3局或賽滿5局，用表示游戲結(jié)束時(shí)的游戲局?jǐn)?shù)，求的分布列和期望。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】定義滿足不等式|xA|＜B（A∈R，B＞0）的實(shí)數(shù)x的集合叫做A的B鄰域．若a+bt（t為正常數(shù)）的a+b鄰域是一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間，則a2+b2的最小值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，直線平面，直線平行四邊形，四棱錐的頂點(diǎn)在平面上，，，，，分別是與的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)。對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立.

（1）求函數(shù)與；

（2）設(shè)，，若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)，若方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某中學(xué)為了加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，鍛煉學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)能力，他們以函數(shù)為基本素材研究該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，某研究小組6位同學(xué)取得部分研究成果如下：

①同學(xué)甲發(fā)現(xiàn)：函數(shù)的零點(diǎn)為；

②同學(xué)乙發(fā)現(xiàn)：函數(shù)是奇函數(shù)；

③同學(xué)丙發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的都有；

④同學(xué)丁發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的，都有；

⑤同學(xué)戊發(fā)現(xiàn)：對(duì)于函數(shù)定義域中任意的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)，，總滿足；

⑥同學(xué)己發(fā)現(xiàn)：求使的x的取值范圍是．

其中正確結(jié)論的序號(hào)為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長(zhǎng)是， 是的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列各組命題中，滿足“‘’為真、‘’為假、‘’為真”的是( )

A. 在定義域內(nèi)是減函數(shù): 偶函數(shù)；

B. ,均有是成立的充分不必要條件；

C. 的最小值是6；：直線被圓截得的弦長(zhǎng)為3；

D. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)是 3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（a＞0，且a≠1）．

（1）求f（x）的定義域；

（2）判斷f（x）的單調(diào)性并予以證明．

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同步練習(xí)冊(cè)答案