Question

【題目】已知函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)。對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立.

（1）求函數(shù)與；

（2）設(shè)，，若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)，若方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）.

【解析】

（1）利用函數(shù)的奇偶性，列方程組求函數(shù)的解析式；

（2）由（1）變形，由不等式 恒成立，，參變分離后恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值；

（3）首先討論解得情況，當(dāng)時(shí)，滿足條件，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根，，假設(shè)，由于函數(shù)開(kāi)口向上，故沒(méi)有實(shí)數(shù)解，而的最小值為，列等價(jià)的不等式組求解，當(dāng)時(shí)， ， ，時(shí)，，而無(wú)解，滿足條件，綜上以上三種情況求得的取值范圍.

（1） ，

函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)

即 ，兩式相加得

，

；

（2）

，

，

不等式等價(jià)于 恒成立，

參變分離后恒成立，

當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)，

時(shí)，函數(shù)取得最大值-3，

即；

（3）首先討論解得情況， ，

當(dāng)時(shí)，

解得：，

即當(dāng)時(shí)，不管為何值時(shí)，無(wú)解，即也無(wú)解；

當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根，，假設(shè)，由于函數(shù)開(kāi)口向上，故沒(méi)有實(shí)數(shù)解，

而

函數(shù)的最小值為，故方程的大根小于，即

故有，

當(dāng)時(shí)， ， ，時(shí)，，而無(wú)解，滿足條件，

綜上所述。