Question

已知函數(shù)f(x)=2ax2+bx+c
（1）已知函數(shù)f（x）經過（0，8），（-1，1），（1，16）三點，求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（3）確定函數(shù)的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）把（0，8），（-1，1），（1，16）三點分別代入f(x)=2ax2+bx+c，能夠求出f（x）的解析式．
（2）由f(x)=2-x2+2x+3對于任意x∈R都有意義，知f(x)=2-x2+2x+3的定義域為R．設u=-x²+2x+3，則f（x）=2^u，利用二次函數(shù)的性質求出u∈（-∞，4]，再由指函數(shù)性質能求出f（x）的值域．
（3）設u=-x²+2x+3，則f（x）=2^u，u∈（-∞，4]，利用復合函數(shù)的單調性的性質，能求出f（x）的單調區(qū)間．

解答：解：（1）∵f(x)=2ax2+bx+c過（0，8），（-1，1），（1，16）三點，
∴

8=2c 16=2a+b+c 1=2a-b+c

，即：

c=log28=3 a+b+c=log216=4 a-b+c=log21=0

，
解方程組得：

a=-1 b=2 c=3

，
∴f(x)=2-x2+2x+3．
（2）∵f(x)=2-x2+2x+3對于任意x∈R都有意義，
∴f(x)=2-x2+2x+3的定義域為R．
設u=-x²+2x+3，則f（x）=2^u，
當x∈R時，由二次函數(shù)性質知u∈（-∞，4]，
所以f（x）=2^u，u∈（-∞，4]，
根據(jù)f（x）=2^u為指函數(shù)性質可知：f（x）∈（-∞，16]．
（3）由（2）知：設u=-x²+2x+3，則f（x）=2^u，u∈（-∞，4]
①當x∈（-∞，1]時，隨x增大，u增大，
從指數(shù)函數(shù)性質知：隨u增大，f（x）=2^u也增大，
所以f(x)=2-x2+2x+3在（-∞，1]上為增函數(shù)．
②當x∈[1，+∞）時，隨x增大，u減小，
從指數(shù)函數(shù)性質知：隨u減小，f（x）=2^u也減小，
所以f(x)=2-x2+2x+3在（-∞，1]上為減函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的解析式、定義域、值域和單調區(qū)間的求法，解題時要認真審題，注意待定系數(shù)法、換元法、二次函數(shù)的性質和指數(shù)函數(shù)的性質的靈活運用．