Question

20．已知在等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₄=$\frac{\sqrt{3}}{9}$tan³3θ（θ∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$）），若數(shù)列{a_n}的前2014和為0，則θ的值為-$\frac{π}{9}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，利用數(shù)列{a_n}的前2014項(xiàng)的和為0，確定公比的取值，利用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₄=$\frac{\sqrt{3}}{9}$tan³3θ（θ∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$）），
則a₄=$\frac{\sqrt{3}}{9}ta{n}^{3}3θ$=1•q³，
即q=$\frac{tan3θ}{\sqrt{3}}$，
若數(shù)列{a_n}的前2014項(xiàng)的和為0，
若q=1，則不滿足條件，
若q≠1，則$\frac{1-{q}^{2014}}{1-q}$=0，即q=-1，
即q=$\frac{tan3θ}{\sqrt{3}}$=-1，
∴tan3θ=-$\sqrt{3}$，∵θ∈（-$\frac{π}{6}，\frac{π}{6}$），∴3θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴3θ=-$\frac{π}{3}$，∴$θ=-\frac{π}{9}$．
故答案為：-$\frac{π}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，利用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．