Question

7．在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（0，$\sqrt{3}$）作直線l與曲線C交于點(diǎn)A、B，以線段AB為直徑的圓能否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若能，求出直線l的方程，若不能請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由橢圓的定義可得曲線C的方程；
（2）設(shè)直線1：y=kx+$\sqrt{3}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程和橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，再由以線段AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，推斷出x₁x₂+y₁y₂=0．求得k，得到直線方程．

解答 解：（1）由橢圓的定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．
它的短半軸b=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=1$，
故曲線C的方程為：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）若能，則直線l的斜率存在，設(shè)直線1：y=kx+$\sqrt{3}$，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理得$（{k}^{2}+4）{x}^{2}+2\sqrt{3}kx-1=0$，
△=16k²+16＞0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-2\sqrt{3}k}{{k}^{2}+4}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-1}{{k}^{2}+4}$．
以線段AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0．
而${y}_{1}{y}_{2}={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{3}k（{x}_{1}+{x}_{2}）+3$，
于是${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{1}{{k}^{2}+4}-\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+4}-\frac{6{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$+3=0，
化簡(jiǎn)得-4k²+11=0，解得k²=$\frac{11}{4}$，即k=$±\frac{\sqrt{11}}{2}$，
∴直線l的方程為y=$±\frac{\sqrt{11}}{2}x+\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，考查了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的綜合分析和基本的運(yùn)算能力，是中檔題．