Question

設函數(shù)f（x）=x²-（a-2）x-alnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)有兩個零點，求滿足條件的最小正整數(shù)a的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用導數(shù)的運算法則即可得出f′（x），并對a分類討論即可；
（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合根的存在性原理，可以判斷存在a₀∈（2，3），h（a₀）=0，當a＞a₀，h（a）＞0；

解答： 解：（1）由已知可得f′（x）=2x-（a-2）-

a

x

=

2x2-(a-2)x-a

x

=

(2x-a)(x+1)

x

，（x＞0），
①當a≤0時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
②當a＞0時，由f'（x）＞0，得x＞

a

2

；由f'（x）＜0，得0＜x＜

a

2

，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

a

2

，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，

a

2

）．
（2）由（1）得若函數(shù)有兩個零點，則a＞0，且f（x）的最小值為f（

a

2

）＜0，
即-a²+4a-4aln

a

2

＜0，
∵a＞0，∴a+4ln

a

2

-4＞0，
令h（a）=a+4ln

a

2

-4，顯然h（a）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
且h（2）=-2＜0，h（3）=4ln

3

2

-1=ln

81

16

-1＞0，
∴存在a₀∈（2，3），h（a₀）=0，當a＞a₀，h（a）＞0；
當0＜a＜a₀時，h（a）＜0．
∴滿足條件的最小整數(shù)a=3，
當a=3時，f（3）=3（2-ln3）＞0，f（1）=0，∴a=3時f（x）有兩個零點．
綜上，滿足條件的最小值a的值為3．

點評：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根的存在性原理的運用．