Question

【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；

（2）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說(shuō)明理由.

（3）利用分層抽樣的方法在[0,0.5) [3.5,4) [4,4.5)三組中選取5位居民，再?gòu)倪@5位居民中任意取三人，求這三人恰有兩人來(lái)自同一組的概率。

Answer 1

【答案】（1）3.6（萬(wàn)）；（2）2.9；（3）

【解析】試題分析：本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力. 第一問(wèn)，由高×組距=頻率，計(jì)算每組中的頻率，因?yàn)樗�有頻率之和為1，計(jì)算出a的值；第二問(wèn)，利用高×組距=頻率，先計(jì)算出每人月均用水量不低于3噸的頻率，再利用頻率×樣本總數(shù)=頻數(shù)，計(jì)算所求人數(shù)；第三問(wèn)，將前6組的頻率之和與前5組的頻率之和進(jìn)行比較，得出2.5≤x<3，再進(jìn)行計(jì)算.

試題解析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知，月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.08×0.5=0.04，

同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的頻率分別為0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．

由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，

解得a=0.30．

（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12．

由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)全市30萬(wàn)居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為

300 000×0.12="36" 000．

（Ⅲ）因?yàn)榍?/span>6組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，

而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，

所以2.5≤x<3．

由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，

解得x=2.9．

所以，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)．