Question

已知橢圓過(guò)點(diǎn)（0，1），且離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅰ）A，B為橢圓C的左右頂點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線AP，BP分別交直線l于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．證明：當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，|DE|·|DF|恒為定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可知，b=1，
又因?yàn)閑=，且a²=b²+c²，解得a=2，
所以橢圓的方程為．
（Ⅱ）由題意可得：A（﹣2，0），B（2，0）．
設(shè)P（x₀，y₀），由題意可得：﹣2＜x₀＜2，
所以直線AP的方程為，令，則，
即；
同理：直線BP的方程為，
令，則，
即；
所以=而，
即4y₀²=4﹣x₀²，代入上式，
所以|DE|·|DF|=1，
所以|DE|·|DF|為定值1．