Question

已知橢圓過(guò)點(diǎn)（0，1），且離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）A，B為橢圓C的左右頂點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線AP，BP分別交直線l于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．證明：當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，|DE|•|DF|恒為定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可知，b=1，
又因?yàn)閑=，且a²=b²+c²，
解得a=2，
所以橢圓的方程為．
（Ⅱ）由題意可得：A（-2，0），B（2，0）．設(shè)P（x₀，y₀），由題意可得：-2＜x₀＜2，
所以直線AP的方程為，令，則，
即；
同理：直線BP的方程為，令，則，
即；
所以=
而，即4y₀²=4-x₀²，代入上式，
所以|DE|•|DF|=1，
所以|DE|•|DF|為定值1．
分析：（Ⅰ）由題意可知：b=1，因?yàn)閑=，且a²=b²+c²，可得a的值，進(jìn)而求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由題意可得：A（-2，0），B（2，0）．設(shè)P（x₀，y₀），由題意可得：-2＜x₀＜2，分別寫出直線AP與直線BP的方程，再求出E、F兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求出|DE|•|DF|的表達(dá)式，然后利用點(diǎn)P在橢圓上即可得到|DE|•|DF|為定值1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了由橢圓的性質(zhì)求橢圓的方程，以及直線的方程與直線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題，要求有較高的計(jì)算能力，是中檔題．