Question

16．已知：$\overrightarrow{a}$=（5$\sqrt{3}$cos x，cos x），$\overrightarrow$=（sin x，2cos x），設函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+|$\overrightarrow$|²+$\frac{3}{2}$．
（1）求函數f （x）的最小正周期和對稱中心；
（2）當x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]時，求函數f（x）的值域；
（3）把y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求g（$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根據向量 $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的坐標及f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+|$\overrightarrow$|²+$\frac{3}{2}$，便可得出f（x）=5 $\sqrt{3}$sinxcosx+5cos2x+$\frac{5}{2}$，化簡后即可得出f（x）=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）+5，從而求出f（x）的最小正周期及對稱中心；
（2）由x的范圍即可求出2x+$\frac{π}{6}$的范圍，從而求出f（x）的值域．
（3）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，從而求得g（$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+|$\overrightarrow$|²+$\frac{3}{2}$
=5$\sqrt{3}$sinxcos x+2cos²x+4cos²x+sin²x+$\frac{3}{2}$
=5$\sqrt{3}$sin xcos x+5cos²x+$\frac{5}{2}$
=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$sin 2x+5•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{5}{2}$
=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）+5；
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，解得：x=-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，對稱中心為（-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，5），k∈Z；
（2）f（x）=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）+5；
由 $\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$，得 $\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$；
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1；
∴當 $\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$時，函數f（x）的值域為[$\frac{5}{2}$，10]．
（3）∵f（x）=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）+5；
∴把y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），
可得y=5sin（x+$\frac{π}{6}$）+5的圖象；
再把得到的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，得到函數y=g（x）=5sin（x+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）+5=5cosx+5的圖象，
∴g（$\frac{π}{6}$）=5cos$\frac{π}{6}$+5=5+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查了向量坐標的數量積的運算，三角函數最小正周期和對稱中心的求法，二倍角的正余弦公式，兩角和的正弦公式，要求熟悉正、余弦函數的圖象和性質，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題．