Question

（1）比較a2x2+1與ax2+2的大�。�
（2）a∈R，f(x)=a-

2

2x+1

 若f（x）為奇函數(shù)，求f（x）的值域并判斷單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）底數(shù)分a＞1和 1＞a＞0兩種情況來考慮，指數(shù)按大于、等于、小于三種情況，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來考慮．
（2）由函數(shù)是奇函數(shù)，解出參數(shù)a，再代入函數(shù)解析式化簡，判斷單調(diào)性，并利用單調(diào)性求函數(shù)的值域．

解答：解：（1）由題意知，這兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)，

a2x2+1

ax2+2

=ax2-1，
當(dāng) a＞1時(shí)，若x=±1，ax2-1=0，a2x2+1=ax2+2；
            若x＞1或x＜-1，ax2-1＞1，a2x2+1＞ax2+2；
            若1＞x＞-1，ax2-1＜1，a2x2+1＜ax2+2；
當(dāng) 1＞a＞0時(shí)，若x=±1，ax2-1=0，a2x2+1=ax2+2；
            若x＞1或x＜-1，1＞ax2-1＞0，a2x2+1＜ax2+2；
            若1＞x＞-1，ax2-1＞1，a2x2+1＞ax2+2；
（2）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），a-

2

2-x+1

=a+

2

2x+1

，
解得 a=1，故f（x）=1+

-2

2x+1

  在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，
當(dāng)x趨向-∞時(shí)，2^x+1趨向1，f（x）趨向-1，當(dāng)x趨向+∞時(shí)，2^x+1趨向+∞，f（x）趨向1，
∴f（x）的值域（-1，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想．