Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，再由點(diǎn)斜式方程，即可得到所求切線的方程；
（2）運(yùn)用參數(shù)分離可得a=$\frac{lnx+2x}{{x}^{2}+x}$（x＞0），令g（x）=$\frac{lnx+2x}{{x}^{2}+x}$（x＞0），求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，畫(huà)出圖象，通過(guò)圖象討論a的范圍，即可得到所求零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-2x²，導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-4x，
函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=-3，
切點(diǎn)為（1，-2），所求切線的方程為y+2=-3（x-1），
即為3x+y-1=0；
（2）由f（x）=lnx-ax²+（2-a）x=0，
可得a=$\frac{lnx+2x}{{x}^{2}+x}$（x＞0），
令g（x）=$\frac{lnx+2x}{{x}^{2}+x}$（x＞0），可得
g′（x）=$\frac{-（2x+1）（lnx+x-1）}{（{x}^{2}+x）^{2}}$，
由lnx+x-1在（0，+∞）遞增，且x=1時(shí)，ln1+1-1=0，
即有當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）遞減，且x→+∞，f（x）→0；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）遞增．
可得g（x）在x=1處極大值，且為最大值1．
作出函數(shù)g（x）的圖象，可得
當(dāng)a=1或a≤0時(shí)，直線y=a和函數(shù)y=g（x）的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，直線y=a和函數(shù)y=g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷，注意運(yùn)用參數(shù)分離和分類(lèi)討論的思想方法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．