Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+2=2a_n（n∈N^*）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n，數(shù)列{$\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}$}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，證明：T_n＜1．

Answer 1

分析 （I）求得數(shù)列的首項(xiàng)，將n換為n-1，相減可得a_n=2a_n-1，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=log₂a_n=n，$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，以及不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（I）由S_n+2=2a_n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁+2=2a₁，解得a₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+2=2a_n-1有a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
所以數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（Ⅱ）證明：由（I）得b_n=log₂2ⁿ=n，
所以T_n=$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+$\frac{1}{_{3}_{4}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$
=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n•（n+1）}$
=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的應(yīng)用，裂項(xiàng)求和證明不等式問(wèn)題，對(duì)邏輯推理能力和化歸與轉(zhuǎn)化思想都有所考查，難度中等．