Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，以點(diǎn)F為圓心且過點(diǎn)A的圓M與x軸正半軸交于點(diǎn)B，AB的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)D，AF的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)E．

（1）若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，求圓M的方程；

（2）若線段AD的中點(diǎn)為G，求證：軸；

（3）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出此最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）; (2)見解析；(3)，理由見解析；

【解析】

（1）由題意求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求出圓心和半徑，寫出圓的方程；

（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求得直線的方程，再由直線與拋物線方程聯(lián)立，利用中點(diǎn)坐標(biāo)求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此判斷軸；

（3）利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示的面積，利用基本不等式計(jì)算它的最小值．

解：（1）由題意，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，由，求得；又點(diǎn)的坐標(biāo)為， ,∴圓的方程為 ；

（2）設(shè)，的方程為 ，代入

得 所以 即 ；

又 ，故點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；

直線的方程為 ，即 ，代入 ，可得 ；

∴ ，

故 ，所以軸。

（3）由（2）知， ，

又 ，可得，

∴的面積為

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”），

所以的面積存在最小值，且此最小值為．