Question

函數(shù)y=f（x）對任意實數(shù)x、y滿足f（x）+f（y-x）=f（y），且當x＞0時，f（x）＜0．
（1）求證：y=f（x）是奇函數(shù)；
（2）判斷y=f（x）的單調性，并證明；
（3）對任意t∈[1，2]，f（tx²-2x）＜f（t+2）恒成立，求x的范圍．

Answer 1

（1）證明：令x=y=0，代入f（x）+f（y-x）=f（y），那么f（0）+f（0）=f（0），所以f（0）=0 再令y=0，那么f（x）+f（-x）=f（0）=0，所以f（-x）=-f（x），
所以函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
（2）解：函數(shù)y=f（x）在整個R上是減函數(shù)
證明：令y＞x，則y-x＞0，
∵f（x）+f（y-x）=f（y），
∴f（y）-f（x）=f（y-x），
因為當x＞0，f（x）＜0，而y-x＞0，所以f（y-x）＜0 所以f（y）-f（x）＜0，
即y＞x，f（y）＜f（x），
所以函數(shù)y=f（x）在整個R上是減函數(shù)；
（3）解：對任意t∈[1，2]，f（tx²-2x）＜f（t+2）恒成立
∴對任意t∈[1，2]，tx²-2x＞t+2恒成立
∴對任意t∈[1，2]，（x²-1）t-2x-2＞0恒成立，
令函數(shù)h（t）=（x²-1）t-2x-2
分三種情況：i、當x²-1=0時，x=1或-1，代入發(fā)現(xiàn)不符合（x²-1）t-2x-2＞0
ii、當x²-1＞0，即x＞1或x＜-1時，函數(shù)h（t）=（x²-1）t-2x-2是增函數(shù)，所以最小值為h（1）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）＞0，
所以x＞3或x＜-1
所以最后符合的解是：x＞3或x＜-1
iii、當x²-1＜0，即-1＜x＜1時，函數(shù)h（t）=（x²-1）t-2x-2是減函數(shù)，所以最小值是h（2）=2x²-2x-4=2（x+1）（x-2）＞0，
所以x＞2或x＜-1，與-1＜x＜1矛盾
綜上知x的范圍是：x＞3或x＜-1
分析：（1）對x，y分別進行賦值，結合f（x）+f（y-x）=f（y），利用奇函數(shù)的定義可證明；
（2）利用單調性的定義，結合當x＞0時，f（x）＜0，取y＞x，則y-x＞0，所以f（y-x）＜0，利用當x＞0時，f（x）＜0，即可證得；
（3）利用（2）的結論，將抽象不等式化為具體不等式，變換主元，構建一次函數(shù)，即可解決．
點評：本題以函數(shù)的性質為載體，考查賦值法的運用，考查函數(shù)單調性的判斷與證明，同時考查變換主元思想的運用，解題時合理運用函數(shù)的性質是關鍵．