Question

2．如圖，正四面體ABCD的頂點(diǎn)C在平面α內(nèi)，且直線(xiàn)BC與平面α所成角為15°，頂點(diǎn)B在平面α上的射影為點(diǎn)O，當(dāng)頂點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離最大時(shí)，直線(xiàn)CD與平面α所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 當(dāng)A，B，O，C四點(diǎn)共面時(shí)，|OA|最大，過(guò)D作平面ABOC的垂線(xiàn)DN，則垂足為△ABC的中心，求出N到平面α的距離d，則直線(xiàn)CD與平面α所成角的正弦值為$\fracjkygd4s{CD}$．

解答 解：當(dāng)四邊形ABOC為平面四邊形時(shí)，點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離最大．
此時(shí)平面ABOC⊥平面α，過(guò)D作DN⊥平面ABOC，垂足為N，
則N為正三角形ABC的中心．
設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為1，則CN=$\frac{2}{3}$CP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠BCO=15°，∠BCP=30°，∴∠OCN=45°，
∴N到平面α的距離d=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
過(guò)D作DM⊥平面α，垂足為M，則DM=d=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴直線(xiàn)CD與平面α所成角的正弦值為$\frac{DM}{CD}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面角的計(jì)算，常見(jiàn)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．