Question

9．已知直線x+y=a與圓x²+y²=1交于A，B兩點(diǎn)，O是原點(diǎn)，C是圓上一點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$，則a的值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 可根據(jù)題意作出圖形，設(shè)AB和OC交于D，從而有OC⊥AB，而根據(jù)$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$可以得到$OD=\frac{1}{2}$，再設(shè)直線x+y=a與y軸交于點(diǎn)E，從而得到△ODE為等腰直角三角形，并且OE=a，從而根據(jù)$OD=\frac{1}{2}$便可得出a的值．

解答 解：如圖，
設(shè)OC交AB于D，則OC⊥AB；
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}$，且$|\overrightarrow{OC}|=1$；
∴$OD=\frac{1}{2}$；
設(shè)直線x+y=a交y軸于E，則△ODE為等腰直角三角形，OE=a；
∴$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的一般式方程，圓心和弦中點(diǎn)的連線垂直于弦，以及向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘的幾何意義，三角函數(shù)的定義，直線在y軸上的截距．