Question

設(shè)a為非零實(shí)數(shù)，偶函數(shù)f（x）=x²+a|x-m|+1（x∈R）在區(qū)間（2，3）上存在唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，利用偶函數(shù)的定義，寫出關(guān)系式得到m的值是0，根據(jù)在區(qū)間（2，3）上存在唯一零點(diǎn)，得到f（2）×f（3）＜0且在（2，3）上為單調(diào)函數(shù)，求出結(jié)果．

解答：解：∵偶函數(shù)f（x）=x²+a|x-m|+1
f（-x）=x²-a|x+m|+1=x ²+a|x-m|+1
|x+m|=|x-m|
2xm=-2xm
∴m=0
f（x）=x²+a|x|+1，
x∈（2，3），f（x）=x²+ax+1，若其在區(qū)間（2，3）上存在唯一零點(diǎn)
f（2）×f（3）＜0且在（2，3）上為單調(diào)函數(shù)
∴（5+2a）（10+3a）＜0
∴-

10

3

＜a＜-

5

2

故答案為：（-

10

3

，-

5

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理，本題解題的關(guān)鍵是先寫出符合偶函數(shù)的定義的式子，整理出式子中的字母系數(shù)的值．