Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，n∈N^*，設(shè)b_n=

a2n-1

a2n

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，則S_n+

n+2

2n

=（　�。�

• A、0
• B、2
• C、1
• D、1+

  n+2

  2n+1

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列遞推式可得，當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1-a_2k-1=1，數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，數(shù)列{a_2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，代入
b_n=

a2n-1

a2n

整理，得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法求S_n，移項(xiàng)變形后可得答案．

解答： 解：∵a₁=1，a₂=2，
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1=[1+cos2

(2k-1)π

2

]a_2k-1+sin2

(2k-1)π

2

=a_2k-1+1，
即a_2k+1-a_2k-1=1．
∴數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，
因此a_2k-1=k．
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k+2=（1+cos2

2kπ

2

）a_2k+sin2

2kπ

2

=2a_2k．
∴數(shù)列{a_2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，
因此a_2k=2^k．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為
a_n=

n+1 2 (n=2k-1，k∈N*) 2 n 2 (n=2k，k∈N*)

．
則b_n=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，②
①-②得，

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

．
∴S_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．
則S_n+

n+2

2n

=2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中高檔題．