Question

已知x=-2是函數(shù)f（x）=

1

2

x²e^x+nx³的一個(gè)極值點(diǎn)，其中n∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，不等式f（x）＞m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′(x)=xex+

1

2

x2ex+3nx2，由題意知f′（-2）=-2e^-2+2e^-2+12n=0，解得n=0，由此能求出f（x）單調(diào)區(qū)間．
（2）f（x）=

1

2

x²e^x，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f（x）_min=0，由題意得到m＜f（x）_min=0．由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

x²e^x+nx³，∴f′(x)=xex+

1

2

x2ex+3nx2，
∵x=-2是函數(shù)f（x）=

1

2

x²e^x+nx³的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（-2）=-2e^-2+2e^-2+12n=0，解得n=0，
由f′(x)=xex+

1

2

x2ex＞0，得x＞0，或x＜-2，
由f′(x)=xex+

1

2

x2ex＜0，得-2＜x＜0．
∴f（x）單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2）和（0，∞）；單調(diào)減區(qū)間為（-2，0）．
（2）由（1）知f（x）=

1

2

x²e^x，x∈[-2，0）時(shí)，f（x）是減函數(shù)，
x∈（0，2]時(shí)，f（x）是增函數(shù)，
f（-2）=

2

e2

，f（0）=0，f（2）=2e²，
∴當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f（x）_min=0，
當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，不等式f（x）＞m恒成立，
∴m＜f（x）_min=0．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m＜0}．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．是中檔題．