Question

已知定義在R上的偶函數f（x），對任意x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），且當x∈[-2，0]時，f（x）=2^-x-1，若在a＞1時，關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有三個不同的實數根，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、（1，2）
• B、（2

  2

  3

  ，2]
• C、（-∞，2

  2

  3

  ）∪（2，+∞）
• D、（2，+∞）

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：由已知中可以得到函數f（x）的圖象關于直線x=2對稱，結合函數是偶函數，及x∈[-2，0]時的解析式，可畫出函數的圖象，將方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3個不同的實數解，轉化為函數f（x）的與函數y=log_a^x+2的圖象恰有3個不同的交點，數形結合即可得到實數a的取值范圍．

解答： 解：∵對于任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），
∴函數f（x）的圖象關于直線x=2對稱
又∵當x∈[-2，0]時，f（x）=2^-x-1，且函數f（x）是定義在R上的偶函數，
若在區(qū)間（-2，6）內關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實數解，
則函數y=f（x）與y=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6）上有三個不同的交點，如下圖所示：
又f（-2）=f（2）=3，則有 log_a（2+2）＜3，且log_a（6+2）≥3，
解得：

3	4

＜a≤2，
故選：B．

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，指數函數與對數函數的圖象與性質，其中根據方程的解與函數的零點之間的關系，將方程根的問題轉化為函數零點問題，是解答本題的關鍵，體現了轉化和數形結合的數學思想，屬于中檔題．