Question

3．實數(shù)x，y，a，b滿足xy=2，a+2b=0，則（x-a）²+（y-b）²的最小值為$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 化曲線xy=2為y=$\frac{2}{x}$，求其導(dǎo)函數(shù)，進一步求出與直線x+2y=0平行且與曲線相切的直線方程，再由兩平行線間的距離公式求解．

解答 解：由xy=2，得y=$\frac{2}{x}$，
則y′=$-\frac{2}{{x}^{2}}$，設(shè)與直線x+2y=0平行的直線與曲線y=$\frac{2}{x}$的切點為（${x}_{0}，\frac{2}{{x}_{0}}$），
則$y′{|}_{x={x}_{0}}=-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$，
由$-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}=-\frac{1}{2}$，得x₀=±2．
當(dāng)x₀=2時，切線方程為y-1=$-\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-4=0．
∴直線x+2y=0與直線x+2y-4=0的距離d=$\frac{|-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$．
∴（x-a）²+（y-b）²的最小值為$\frac{16}{5}$；
同理求得當(dāng)x₀=-2時（x-a）²+（y-b）²的最小值為$\frac{16}{5}$．
故答案為：$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查兩曲線間距離的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點處的切線方程，是中檔題．