Question

1．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₂=5，a₅+a₉=30．{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$（n∈N*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₂=5，a₅+a₉=30可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=5}\\{{2a}_{1}+12d=30}\end{array}\right.$，求出首選和公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出，
（Ⅱ）通過裂項(xiàng)求和即可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₂=5，a₅+a₉=30可得，
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=5}\\{{2a}_{1}+12d=30}\end{array}\right.$，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，
∴S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2）=n²+2n，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]，
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{2n+4}$

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式和裂項(xiàng)求和，屬于中檔題