Question

【題目】已知是拋物線的焦點(diǎn)， 為拋物線上不同的兩點(diǎn)， 分別是拋物線在點(diǎn)、點(diǎn)處的切線， 是的交點(diǎn)．

（1）當(dāng)直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)在定直線上；

（2）若，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) .

【解析】試題分析: (1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,分別求出切線PA,PB的斜率,再寫出直線方程,求出交點(diǎn)P的坐標(biāo),聯(lián)立直線AB的方程和拋物線方程,求出 ,即P點(diǎn)縱坐標(biāo)為定值 ,得證; (2)假設(shè)直線AB的方程 ,聯(lián)立直線和拋物線方程,求出,由兩點(diǎn)間的距離公式,得到 ,化簡(jiǎn) ,得出值.

試題解析:(Ⅰ)拋物線，則，

∴切線的方程為，即，同理切線的方程為，

聯(lián)立得點(diǎn) ， 設(shè)直線的方程為，代入得。所以所以點(diǎn)在直線上

(Ⅱ) 設(shè)直線的方程為，代入得。

，所以，

點(diǎn)睛:本題主要考查直線與拋物線位置關(guān)系, 屬于中檔題. 本題思路): (1)由導(dǎo)數(shù)求出切線PA,PB方程, 得出交點(diǎn)P坐標(biāo), 聯(lián)立直線AB的方程和拋物線方程, 由韋達(dá)定理得出 為定值,即點(diǎn)P縱坐標(biāo)為定值; (2) 假設(shè)直線AB的方程 ,聯(lián)立直線和拋物線方程,由 ,求出 之間的關(guān)系,化簡(jiǎn) ,將 之間的關(guān)系代入,求出值.