【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,,,平面平面,點(diǎn)為棱的中點(diǎn).
(Ⅰ)在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面,并說(shuō)明理由;
(Ⅱ)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí),求直線與平面所成的角.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【解析】
(Ⅰ)取的中點(diǎn),連結(jié)、,得到故且,進(jìn)而得到,利用線面平行的判定定理,即可證得平面.
(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系,設(shè),求得平面的法向量為,和平面的法向量,利用向量的夾角公式,求得,進(jìn)而得到為直線與平面所成的角,即可求解.
(Ⅰ)在棱上存在點(diǎn),使得平面,點(diǎn)為棱的中點(diǎn).
理由如下:取的中點(diǎn),連結(jié)、,由題意,且,
且,故且.所以,四邊形為平行四邊形.
所以,,又平面,平面,所以,平面.
(Ⅱ)由題意知為正三角形,所以,亦即,
又,所以,且平面平面,平面平面,
所以平面,故以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),則由題意知,,,,
,,
設(shè)平面的法向量為,
則由得,令,則,,
所以取,顯然可取平面的法向量,
由題意:,所以.
由于平面,所以在平面內(nèi)的射影為,
所以為直線與平面所成的角,
易知在中,,從而,
所以直線與平面所成的角為.
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【題目】函數(shù),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. 是偶函數(shù) B. 的值域是
C. 方程的解只有 D. 方程的解只有
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【題目】命題甲:“一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面,則這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ).”命題乙:“底面為正三角形,側(cè)面為等腰三角形的三棱錐是正三棱錐.”命題丙:“過(guò)圓錐的兩條母線的截面,以軸截面的面積最大.”其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【題目】已知橢圓()的左右焦點(diǎn)分別為,為橢圓上位于軸同側(cè)的兩點(diǎn),的周長(zhǎng)為,的最大值為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若,求四邊形面積的取值范圍.
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【題目】已知f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),且滿足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1)求f(8)的值;
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【題目】已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn),分別是軸,軸上的動(dòng)點(diǎn),且滿足.若點(diǎn)滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)任作一直線與點(diǎn)的軌跡交于,兩點(diǎn),直線,與直線分別交于點(diǎn),,試判斷以線段為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】如圖,某鎮(zhèn)有一塊空地,其中,,.當(dāng)?shù)劓?zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個(gè)旅游景點(diǎn),擬在中間挖一個(gè)人工湖,其中M,N都在邊上,且,挖出的泥土堆放在地帶上形成假山,剩下的地帶開(kāi)設(shè)兒童游樂(lè)場(chǎng).為安全起見(jiàn),需在的周?chē)惭b防護(hù)網(wǎng).
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(2)為節(jié)省資金投入,人工湖的面積要盡可能小,設(shè),問(wèn):當(dāng)多大時(shí)的面積最?最小面積是多少?
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