Question

設(shè)f_k（n）為關(guān)于n的k（k∈N）次多項(xiàng)式．?dāng)?shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n。對于任意的正整數(shù)n，a_n+S_n=f_k（n）都成立。
（1）若k=0，求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）試確定所有的自然數(shù)k，使得數(shù)列{a_n}能成等差數(shù)列。

Answer 1

解：（1）若k=0，則為常數(shù)，
不妨設(shè)（c為常數(shù)），
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20120204/201202041350535571018.gif">恒成立，
所以，
而且當(dāng)n≥2時(shí)，， ①
， ②
①-②得，
若a_n=0，則，…，a₁=0，與已知矛盾，
所以，
故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列；
 （2）(i)若k=0，由（1）知，不符題意，舍去；
(ii)若k=1，設(shè)（b，c為常數(shù)），
當(dāng)n≥2時(shí)，， ③
 ， ④
③-④得，
要使數(shù)列{a_n}是公差為d（d為常數(shù)）的等差數(shù)列，必須有（常數(shù)），
而a₁=1，
故{a_n}只能是常數(shù)數(shù)列，通項(xiàng)公式為a_n=1（n∈N*），
故當(dāng)k=1時(shí)，數(shù)列{a_n}能成等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為a_n=1（n∈N*），
此時(shí)；
(iii)若k=2，設(shè)（a≠0，a，b，c是常數(shù)），
當(dāng)n≥2時(shí)，， ⑤
， ⑥
⑤-⑥得，
要使數(shù)列{a_n}是公差為d（d為常數(shù)）的等差數(shù)列，
必須有，且d=2a，
考慮到a₁=1，
所以，
故當(dāng)k=2時(shí)，數(shù)列{a_n}能成等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，
此時(shí)（a為非零常數(shù)）；
(iv)當(dāng)k≥3時(shí)，若數(shù)列{a_n}能成等差數(shù)列，則的表達(dá)式中n的最高次數(shù)為2，故數(shù)列{a_n}不能成等差數(shù)列；
綜上得，當(dāng)且僅當(dāng)k=1或2時(shí)，數(shù)列{a_n}能成等差數(shù)列。