Question

在△ABC中角A、B、C的對邊分別為a、b、c設(shè)向量=（a，cosB），=（b，cosA）且，
（Ⅰ）若sinA+sinB=，求A；
（Ⅱ）若△ABC的外接圓半徑為1，且abx=a+b試確定x的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為向量=（a，cosB），=（b，cosA）且，，所以，acosA=sinB．--------（1分）
由正弦定理，可得sinAcosA=sinBcosB，即 sin2A=sin2B．--------------（2分）
所以 2A+2B=π，即 A+B=．-------（3分）
再由sinA+sinB=，以及sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+），可得 ．------（4分）
由于 A為銳角，故有A+= 或A+=，∴，或．------（6分）
（Ⅱ）若△ABC的外接圓半徑為1，且abx=a+b，則 x=，由正弦定理，得．-----（8分）
設(shè) sinA+cosA=t，t∈（1，），則 t²=1+2sinAcosA，∴sinAcosA=，-----------（10分）
即 ，所以實數(shù)x的取值范圍為．---------（12分）
分析：（Ⅰ）由兩個向量共線的性質(zhì)求得sin2A=sin2B，故A+B=．再由sinA+sinB=，求得，可得A+= 或A+=，由此求得A的值．
（Ⅱ）由條件結(jié)合正弦定理可得 ，設(shè) sinA+cosA=t，t∈（1，），根據(jù) ，求得實數(shù)x的取值范圍．
點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量共線的性質(zhì)，正弦定理兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．