【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(Ⅱ)若恒成立,求的取值范圍;

(Ⅲ)證明:若存在零點(diǎn),則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)見解析

【解析】

(Ⅰ)求得時(shí)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率和切點(diǎn),可得切線方程;(Ⅱ)若恒成立,即為恒成立,設(shè),求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、極大值即最大值,可得的范圍;(Ⅲ)若存在零點(diǎn),即關(guān)于的方程有解,可得有解,由的單調(diào)性,即可得證.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,

所以,

所以切線方程為

(Ⅱ)恒成立

等價(jià)于,即恒成立

設(shè),則

解得

在區(qū)間上的情況如下

0

極大

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是.

函數(shù)處取得極大值(也是最大值)

所以,即的取值范圍是

(Ⅲ)若函數(shù)存在零點(diǎn),則關(guān)于的方程有解,

即方程有解,

由(Ⅱ)可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是,

因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時(shí),,

又因?yàn)楫?dāng)時(shí),

所以若方程有解,則在上僅有一個(gè)解,

即若存在零點(diǎn),則上僅有一個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】以下是某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值表.

身高/

60

70

80

90

100

110

體重/

6.13

7.9

9.99

12.15

15.02

17.5

身高/

120

130

140

150

160

170

體重/

20.92

26.86

31.11

38.85

42.25

55.05

1)給出兩個(gè)回歸方程:

,②.通過計(jì)算,得到它們的相關(guān)指數(shù)分別是:,.試問哪個(gè)回歸方程擬合效果更好?

2)若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖,低于0.8為偏瘦,那么該地區(qū)某中學(xué)一男生身高為,體重為,他的體重是否正常?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,右頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,若,成等比數(shù)列,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

過該橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn),結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們之間有網(wǎng)線連接,連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量,現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B發(fā)送信息,信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞,則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為(

A.19 B.20 C.24 D. 26

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知某校5個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦拢?/span>

學(xué)生的編號(hào)

1

2

3

4

5

數(shù)學(xué)成績

80

75

70

65

60

物理成績

70

66

68

64

62

1)通過大量事實(shí)證明發(fā)現(xiàn),一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績是具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系的,在上述表格中,用表示數(shù)學(xué)成績,用表示物理成績,求關(guān)于的回歸方程.

2)利用殘差分析回歸方程的擬合效果,若殘差和在范圍內(nèi),則稱回歸方程為優(yōu)擬方程,問:該回歸方程是否為優(yōu)擬方程

3)現(xiàn)從5名同學(xué)中任選兩人參加訪談活動(dòng),求1號(hào)同學(xué)沒被選中的概率.

附:對于一組數(shù)據(jù),,,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和為4(),且動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線過點(diǎn).

(1)求的值;

(2)若直線與曲線有不同的兩個(gè)交點(diǎn),且為坐標(biāo)原點(diǎn)),求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C (a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為.直線yk(x-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.

(1)求橢圓C的方程;

(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí),求k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】黃岡市的天氣預(yù)報(bào)顯示,大別山區(qū)在今后的三天中,每一天有強(qiáng)濃霧的概率為,現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的概率:先利用計(jì)算器產(chǎn)生之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),并用0,1,2,3,4,5表示沒有強(qiáng)濃霧,用6,7,8,9表示有強(qiáng)濃霧,再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組,代表三天的天氣情況,產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):

779 537 113 730 588 506 027 394 357 231

683 569 479 812 842 273 925 191 978 520

則這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的概率近似為  

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在某公司舉行的年終慶典活動(dòng)中,主持人利用隨機(jī)抽獎(jiǎng)軟件進(jìn)行抽獎(jiǎng):由電腦隨機(jī)生成一張如圖所示的33表格,其中1格設(shè)獎(jiǎng)300元,4格各設(shè)獎(jiǎng)200元,其余4格各設(shè)獎(jiǎng)100元,點(diǎn)擊某一格即顯示相應(yīng)金額.某人在一張表中隨機(jī)不重復(fù)地點(diǎn)擊3格,記中獎(jiǎng)的總金額為X元.

1)求概率

2)求的概率分布及數(shù)學(xué)期望

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