已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的x,y∈R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且x<0時(shí),f(x)>0.
(1)求證:函f(x)是奇函數(shù);
(2)求證:函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù);
(3)若定義在(-2,2)上的函數(shù)f(x)滿足f(-m)+f(1-m)<0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)由f(x+y)=f(x)+f(y)可令x=y=0 有f (0 )=0,令y=-x 代入即證;
(2)設(shè)x2>x1則x1-x2<0,由已知當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0可得f(x1-x2)>0,則f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)>f(x2)可證;
(3)移項(xiàng),利用奇偶性進(jìn)行化簡(jiǎn),然后利用單調(diào)性建立不等式,注意定義域,從而可求出m的取值范圍.
解答:(1)證明:∵f(x+y)=f(x)+f(y)
∴令x=y=0 有f (0 )=0
令y=-x 有:0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)
∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù);…(5分)
(2)證明:設(shè)x2>x1則x1-x2<0
∵當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0
∴f(x1-x2)>0
∴f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)>f(x2
∴函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)
(3)解:∵f(-m)+f(1-m)<0,∴f(-m)<f(m-1),
且f(-m)+f(1-m)=f(1-2m)
-2<-m<2
-2<1-m<2
-2<1-2m<2
-m>m-1
,解得:-
1
2
<m<
1
2
.…(16分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)函數(shù)值,及利用賦值判斷函數(shù)的奇偶性,利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)的最值,利用構(gòu)造條件判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性的技巧要求體會(huì)掌握,是函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ex,直線l的方程為y=kx+b.
(1)求過函數(shù)圖象上的任一點(diǎn)P(t,f(t))的切線方程;
(2)若直線l是曲線y=f(x)的切線,求證:f(x)≥kx+b對(duì)任意x∈R成立;
(3)若f(x)≥kx+b對(duì)任意x∈[0,+∞)成立,求實(shí)數(shù)k、b應(yīng)滿足的條件.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|>|y-m|,則稱x比y遠(yuǎn)離m.
(1)若x2-1比1遠(yuǎn)離0,求x的取值范圍;
(2)對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b,證明:a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2ab
ab

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D={{x|x≠
2
+
π
4
,k∈Z,x∈R}
.任取x∈D,f(x)等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值.寫出函數(shù)f(x)的解析式,并指出它的基本性質(zhì)(結(jié)論不要求證明).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|<|y-m|,則稱x比y接近m.
(1)若x2-1比3接近0,求x的取值范圍;
(2)對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b,證明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
;
(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D{x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}.任取x∈D,f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個(gè)值.寫出函數(shù)f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性(結(jié)論不要求證明).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ex
ex+1

(Ⅰ)證明函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,
1
2
)對(duì)稱;
(Ⅱ)設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù),令g(x)=f-1(
x+1
x+2
),是否存在實(shí)數(shù)b
,使得任給a∈[
1
4
1
3
],對(duì)任意x∈(0,+∞).不等式g(x)>x-ax2
+b恒成立?若存在,求b的取值范圍;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•海淀區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=
1,x∈Q
0,x∈CRQ
,則f(f(x))=
1
1

下面三個(gè)命題中,所有真命題的序號(hào)是
①②③
①②③

①函數(shù)f(x)是偶函數(shù);
②任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T,f(x+T)=f(x)對(duì)x∈R恒成立;
③存在三個(gè)點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC為等邊三角形.

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同步練習(xí)冊(cè)答案