Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=3且a_n+1=2S_n+3，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且 公差d＞0，b₁+b₂+b₃=15
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若

a1

3

+b1，

a2

3

+b2，

a3

3

+b3成等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）對第（2）小題的Tn，當Tn+16≥λn對任意的n∈N*恒成立，求λ的最大值．

Answer 1

分析：（1）再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）利用{b_n}為等差數(shù)列，且公差d＞0，b₁+b₂+b₃=15，

a1

3

+b1，

a2

3

+b2，

a3

3

+b3成等比數(shù)列，求出公差，即可求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）由題意，λ≤n+

16

n

+2，利用基本不等式，即可求出λ的最大值．

解答：解：（1）由a_n+1=2S_n+3，得a_n=2S_n-1+3（n≥2）…（2分）
相減得：a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），即a_n+1=3a_n，
∵當n=1時，a₂=2a₁+3=9，∴

a2

a1

=3，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ…（5分）
（2）∵b₁+b₂+b₃=15，b₁+b₃=2b₂，
∴b₂=5…（6分）
由題意，

a1

3

+b1，

a2

3

+b2，

a3

3

+b3成等比數(shù)列，
∴(

a2

3

+b2)2=(

a1

3

+b1)(

a3

3

+b3)，
設(shè)b₁=5-d，b₃=5+d，
∴64=（5-d+1）（5+d+9），
∴d²+8d-20=0，得d=2或d=-10（舍去）
故Tn=3n+

n(n-1)

2

•2=n2+2n …（10分）
（3）由題意，λ≤n+

16

n

+2，
∵n+

16

n

≥2

n• 16 n

=8，
∴λ的最大值為8+2=10．…（14分）

點評：本題考查等比數(shù)列的通項，考查等差數(shù)列的求和，考查基本不等式的運用，考查學(xué)生的計算能力，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．