Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-bx²+9x+2，若x=

1

2

是f（x）的一個極值，且f（x）在x=1處的切線的斜率是-3．
（1）求f（x）的解析式
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意的x∈[

1

4

，2]都有f（x）≥t²-2t-1成立，求函數(shù)g（t）=t²+t-2的最值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f′（x）=3ax²-2bx+9，由題意得f′（

1

2

）=0，f′（1）=-3，求出a，b即可；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，令它大于0，得增區(qū)間，令小于0，得減區(qū)間；
（3）求出f（x）在[

1

4

，2]上的最小值為2，由恒成立思想得到t²-2t-1≤2，求出t的范圍，由二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，即可得到最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²-2bx+9，
由題意可得

f′( 1 2 )= 3 4 a-b+9=0 f′(1)=3a-2b+9=-3

   解得

a=4 b=12

，
故f（x）=4x³-12x²+9x+2，
（2）f′（x）=12x²-24x+9，
由f′（x）=0得：x=

1

2

或

3

2

，由f′（x）＞0，得：x＞

3

2

或x＜

1

2

，由f′（x）＜0得：

1

2

＜x＜

3

2

，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（

3

2

，+∞），（-∞，

1

2

），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（

1

2

，

3

2

）；
（3）由（2）可知f（x）的極小值為f（

3

2

）=2，
又f（

1

4

）=

57

16

，f（2）=4，
∴f（x）在[

1

4

，2]上的最小值為2，
由f（x）≥t²-2t-1對x∈[

1

4

，2]恒成立，則t²-2t-1≤2，即t²-2t-3≤0，
解得-1≤t≤3，
而g（t）=t²+t-2=（t+

1

2

）²-

9

4

，
故當(dāng)t=-

1

2

時，g（t）最小值為-

9

4

，當(dāng)t=3，g（t）最大值為10．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運用：求切線方程、求單調(diào)區(qū)間、求極值和最值，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題，屬于中檔題．