Question

9．已知f（x）=（x-2）e^x+ax²+x，a∈R．
（1）當(dāng)$a=-\frac{1}{2}$時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)a∈[-2，0]時(shí)，f（x）＜f′（x）總成立（f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）得到-e^x+ax²-（2a-1）x-1＜0，令g（a）=（x²-2x）a-e^x+x-1，a∈[-2，0]，g（a）是關(guān)于a的一次函數(shù)，通過(guò)討論x的范圍求出g（a）的最大值，證明即可．

解答 解：（1）a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=（x-2）e^x-$\frac{1}{2}$x²+x，
f′（x）=（x-1）e^x-x+1=（x-1）（e^x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）證明：f′（x）=（x-1）e^x+2ax+1，
f（x）＜f′（x）即-e^x+ax²-（2a-1）x-1＜0，
令g（a）=（x²-2x）a-e^x+x-1，a∈[-2，0]，g（a）是關(guān)于a的一次函數(shù)，
①x²-2x＞0即x＞2或x＜0時(shí)，g（a）在[-2，0]遞增，
g（a）的最大值是g（0）=-2＜0，成立，
②x²-2x=0即x=0或2時(shí)，g（a）=-2或g（a）=1-e²＜0，成立，
③x²-x＜0即0＜x＜2時(shí)，g（a）在（0，2）遞減，
g（a）的最大值是g（0）=-e^x+x-1，（0＜x＜2），
令h（x）=-e^x+x-1，h′（x）=-e^x+1＜0，
∴h（x）＜h（0）=-2＜0，成立，
綜上，當(dāng)a∈[-2，0]時(shí)，f（x）＜f′（x）總成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．