已知函數(shù)f(x)=2cos2x-cos(2x+
π
2
)
（Ⅰ）求f(
π
8
)的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間．
分析：（Ⅰ）通過二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后求f(
π
8
)的值；
（Ⅱ）直接利用正弦函數(shù)的周期的求法，以及三角函數(shù)的單調(diào)性直接求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="jlhrv79" class="MathJye">f(x)=2cos2x-cos(2x+
π
2
)=2cos2x+sin2x…（2分）
=1+cos2x+sin2x…（4分）
=
2
sin(2x+
π
4
)+1…（6分）
所以f(
π
8
)=
2
sin(
π
4
+
π
4
)+1=
2
+1…（7分）
（Ⅱ）因?yàn)?span id="zvrp7rr" class="MathJye">f(x)=
2
sin(2x+
π
4
)+1
所以T=
2π
2
=π…（9分）
又y=sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為(2kπ+
π
2
，2kπ+
3π
2
)，（k∈Z）…（10分）
所以令2kπ+
π
2
＜2x+
π
4
＜2kπ+
3π
2
…（11分）
解得kπ+
π
8
＜x＜kπ+
5π
8
…（12分）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(kπ+
π
8
，kπ+
5π
8
)，（k∈Z）…（13分）
點(diǎn)評：本題考查兩角和的正弦函數(shù)與二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期的求法，單調(diào)區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點(diǎn)（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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