Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c均為實(shí)數(shù)），滿足f（-1）=0，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≥x，并且當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）≤

(x+1)2

4

，求f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由已知條件求得f（1）=1，結(jié)合f（-1）=0求得b=

1

2

，a+c=

1

2

，再由對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≥x得到
ax²+（b-1）x+c≥0，即a＞0且（b-1）²-4ac≤0，把 b=

1

2

，a+c=

1

2

代入求得a，c的值，則函數(shù)解析式可求．

解答： 解：當(dāng)x=1時(shí)，由 f（1）-1≥0，且f（1）≤

(1+1)2

4

=1，∴f（1）=1．
由f（-1）=0可得a-b+c=0，
而f（1）=1，∴a+b+c=1，解得b=

1

2

，a+c=

1

2

．
又f（x）-x≥0，∴ax²+bx+c-x≥0，化簡(jiǎn)得 ax²+（b-1）x+c≥0，
∴a＞0且（b-1）²-4ac≤0，把 b=

1

2

，a+c=

1

2

代入化簡(jiǎn)可得(a-

1

4

)2≤0，
∴a=

1

4

，c=

1

4

．
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)解析式的求解及判斷方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．