Question

設(shè)△ABC和△DBC所在的兩個(gè)平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=，求:

(1)直線AD與平面BCD所成角的大�。�

 (2)異面直線AD與BC所成的角；

(3)二面角A—BD—C的大小.

Answer 1

(1) 45° (2) AD與BC所成的角為90° (3) 二面角A—BD—C大小為π－arctan2.

解析:

(1)如圖，在平面ABC內(nèi)，過(guò)A作AH⊥BC，垂足為H，則AH⊥平面DBC，

∴∠ADH即為直線AD與平面BCD所成的角  由題設(shè)知△AHB≌△AHD，則DH⊥BH，AH=DH，

∴∠ADH=45°

 (2)∵BC⊥DH，且DH為AD在平面BCD上的射影，

∴BC⊥AD，故AD與BC所成的角為90°。

(3)過(guò)H作HR⊥BD，垂足為R，連結(jié)AR，則由三垂線定理知，AR⊥BD，故∠ARH為二面角A—BD—C的平面角的補(bǔ)角  設(shè)BC=a,則由題設(shè)知，AH=DH=,在△HDB中，HR=a，∴tanARH==2

故二面角A—BD—C大小為π－arctan2.

另法（向量法）: (略)