Question

關(guān)于x的方程：x³-x=-

t

4

在[-1，t]上有且只有一個實根，求t的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：確定f（x）的單調(diào)性，由f（x）=0解得x=±1，x=0；作y=f（x）與與y=-

x

4

的圖象交點橫坐標為±

3

2

，x=0，圖象上任意一點向左作平行于x軸的直線與y=f（x）都只有唯一交點，當(dāng)x取其它任何值時都有兩個或沒有交點，由此可得結(jié)論

解答： 解：∵令f（x）=x³-x，
∴f′（x）=3x²-1，
當(dāng)x∈（-

3

3

，

3

3

），f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（-1，-

3

3

），（

3

3

，+∞），
f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（-

3

3

，

3

3

）單調(diào)遞減，
在（-1，-

3

3

），（

3

3

，+∞）上單調(diào)遞增，
 當(dāng)x=

3

3

時，f（

3

3

）=

9 3

8

，
由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如圖所示，作y=f（x）與y=-

x

4

的圖象，
交點橫坐標為±

3

2

，x=0，
當(dāng)x∈[-

3

2

，0）∪（0，

3

2

）∪{

9 3

8

}時，過y=-

x

4

的圖象上任意一點向左作平行于x軸的直線與y=f（x）都只有唯一交點，當(dāng)x取其它任何值時都有兩個或沒有交點．
所以當(dāng)t∈[-

3

2

，0）∪（0，

3

2

）∪{

9 3

8

}時，方程x³-x=-

t

4

在[-1，t]上有且只有一個實根．

點評：本題主要考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查導(dǎo)數(shù)知識，屬于中檔題．