Question

9．三棱錐B-ACD的每個頂點都在表面積為16π的球O的球面上，且AB⊥平面BCD，△BCD為等邊三角形，AB=2BC，則三棱錐B-ACD的體積為（　　）

• A． 3
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由s=4πR²=16，得球半徑R=2，如圖設BC=m，則AB=2m，設O₁是△BCD的中心，O是球心，則BO₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}m$，過O作OH⊥AB于H，則H為AB中點，OO₁=HB=m，在直角三角形OO₁B中，OO₁²+BO₁²=OB²，
解得m即可．

解答 解：由s=4πR²=16，得球半徑R=2，
如圖設BC=m，則AB=2m，
設O₁是△BCD的中心，O是球心，則BO₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}m$，
過O作OH⊥AB于H，則H為AB中點，∴OO₁=HB=m，
在直角三角形OO₁B中，OO₁²+BO₁²=OB²，
m²+$\frac{1}{3}{m}^{2}=4$，解得m=$\sqrt{3}$，
∵△BCD的面積為$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，AB=2m=2$\sqrt{3}$，
三棱錐B-ACD的體積為v=$\frac{1}{3}×{s}_{△BCD}×AB=\frac{3}{2}$．
故選：C

點評 本題考查了球與三棱錐的組合體，關鍵是找準相應位置關系．屬于中檔題