Question

已知函數(shù)
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上不等式|f（x）|≤3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）a=1時，，
∵f（x）在（-∞，0）上遞減，∴f（x）＞f（0），
∴f（x）∈（3，+∞）．
（2）|f（x）|≤3即-3≤f（x）≤3?-4-≤a≤2-
?-4•2^x-≤a≤2•2^x-，
∵2•2^x-在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴2•2^x-≥1；
令g（x）=?-4•2^x-（x≥0），g′（x）=-4ln2•2^x-ln2=＜0，
所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，所以g（x）≤g（0）=-5．
由-4•2^x-≤a≤2•2^x-恒成立，得-5≤a≤1．
所以實數(shù)a的取值范圍為[-5，1]．
分析：（1）根據(jù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性即可求得值域；
（2）|f（x）|≤3即-3≤f（x）≤3?-4•2^x-≤a≤2•2^x-，問題轉(zhuǎn)化為求2•2^x-的最小值及-4•2^x-的最大值問題，根據(jù)其單調(diào)性即可求得最值．
點評：本題為指數(shù)函數(shù)的綜合問題，考查學(xué)生對問題的分析解決能力，具有一定綜合性．