已知△ABC的角A,B,C的對邊依次為a,b,c,若滿足
3
tanA•tanB-tanA-tanB=
3
,
(Ⅰ)求∠C大;
(Ⅱ)若c=2,且△ABC為銳角三角形,求a2+b2取值范圍.
分析:(Ⅰ)已知等式變形后,利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡,再利用誘導(dǎo)公式求出tanC的值,由C為三角形的內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出∠C的度數(shù);
(Ⅱ)由C的度數(shù)求出A+B的度數(shù),用A表示出B,根據(jù)A與B都為銳角求出A的范圍,由c與sinC的值,利用正弦定理表示出a與b,將表示出的a,b及B代入所求式子中,和差化積后整理為一個角的正弦函數(shù),由A的范圍求出這個角的范圍,利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出正弦函數(shù)的值域,即可確定出所求式子的范圍.
解答:解:(Ⅰ)∵
3
tanA•tanB-tanA-tanB=
3
,
tanA+tanB
1-tanAtanB
=-
3
,即tan(A+B)=-tanC=-
3
,
∴tanC=
3

∵∠C為三角形的內(nèi)角,
則∠C=
π
3
;
(II)∵∠A與∠B為銳角,且∠A+∠B=π-∠C=
3
,即∠B=
3
-∠A,
π
6
<∠A<
π
2
,
π
6
<2∠A-
π
6
6
,
∵c=2,sinC=
3
2
,
∴由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=
2
3
2
得:a=
4
3
3
sinA,b=
4
3
3
sinB,
∴a2+b2=
16
3
(sinA+sinB)=
16
3
[sinA+sin(
3
-A)]=
16
3
+
8
3
sin(2A-
π
6
),
π
6
<2∠A-
π
6
6
,
1
2
<sin(2A-
π
6
)≤1,即
20
3
16
3
+
8
3
sin(2A-
π
6
)≤8,
則a2+b2的范圍為(
20
3
,8].
點評:此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式,正弦定理,正弦函數(shù)的定義域與值域,以及兩角和與差的正切函數(shù)公式,熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,設(shè)向量
m
=(a,b)
,
n
=(sinB,sinA)
,
p
=(b-2,a-2)

(1)若
m
n
,求證:△ABC為等腰三角形;
(2)若
m
p
,邊長c=2,角C=
π
3
,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,設(shè)向量
m
=(a,b),
n
=(sinB,sinA),
p
=(b-2,a-2).
(1)若
m
n
,試判斷△ABC的形狀并證明;
(2)若
m
p
,邊長c=2,∠C=
π
3
,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(
3
sin2x-1,cosx),n=(
1
2
,cosx),設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在[0,
π
2
]上的最大值;
(2)已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,A、B為銳角,f(A+
π
6
)=
3
5
,f(
B
2
-
π
12
)=
10
10
,又a+b=
2
+1,求a、b、c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的角A,B,C所對的邊a,b,c,且acosC+
12
c=b

(1)求角A的大小;
(2)若a=1,求b+c的最大值并判斷這時三角形的形狀.

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